।।अल्पारंभ: क्षेमकर:।।

–

(अल्पारंभ फाऊंडेशन संचलित ‘कापरेकर कॉर्नर’ या उपक्रमाशी निगडीत ही पोस्ट!)

अचूकता आणि निश्चितता यावर भर देणारा गणित हा विषय त्यातील अटकळींसाठीही प्रसिद्ध आहे. म्हणजे काही गणिती निष्कर्षांचे मर्यादित स्वरुपातील कल लक्षात घेऊन ते व्यापकपणे मान्य करता येतील असा अंदाज वर्तवला जातो. त्यांची परिपूर्ण औपचारिक सिध्दता मात्र मिळालेली नसते. वरवर सहज दिसणारी १९३७ साली मांडलेली कोलॅत्झ अटकळ ही त्यातलीच एक. मात्र  गणितासाठी मोठे आव्हान राहिलेली ही अटकळ, संगणक आणि माहिती तंत्रज्ञान क्षेत्रांत खुबीने वापरली जाते हे विशेष. तरी तिच्याबाबत अधिक जाणून घेऊ …

प्राथमिक अंकगणितावर आधारलेल्या काही सोप्या दिसणाऱ्या गणिती प्रक्रियांत किती मोठी रहस्ये दडलेली असू शकतात याची सामान्यपणे कल्पना येत नाही. त्याचे उत्तम उदाहरण आहे पुढील सहजपणे हाती करता येणारी पुनरावृत्ती गणिती प्रक्रिया :

१) एक नैसर्गिक संख्या ‘न’ घ्या म्हणजे १, २, ३, … यापैकी कुठलीही.

२) ‘न’ सम संख्या असल्यास (म्हणजे २ ने पूर्णपणे भाग जाणारी जशी की, २, ४, ६, …), तिला २ ने भाग द्या.

३) ‘न’ विषम संख्या असल्यास (म्हणजे २ ने पूर्णपणे भाग न जाणारी जशी की,  १, ३, ५, …), तिला ३ ने गुणा आणि आलेल्या उत्तरात १ मिळावा.

४) अशा प्रकारे उत्तरादाखल मिळालेली संख्या सम आहे की विषम हे बघून अनुक्रमे, वरील पायरी २ किंवा पायरी ३ वापरत रहा. उत्तर १ मिळाले की थांबा कारण, १ वर या प्रक्रिया केल्या की १ हेच उत्तर परत मिळेल.

उदाहरणार्थ, सुरवातीला ३६ ही सम संख्या घेतल्यास वरील पायऱ्या वापरून पुढील क्रम मिळेल :

३६ → १८ → ९ → २८ → १४ → ७ → २२ → ११ → ३४ → १७ → ५२ → २६ → १३ → ४० → २० → १० → ५ → १६ → ८ → ४ → २ → १.

सुरवातीला ३७ ही विषम संख्या घेतल्यास पुढील क्रम मिळेल :

३७ → ११२ → ५६ → २८ → १४ → ७ → २२ → ११ → ३४ → १७ → ५२ → २६ → १३ → ४० → २० → १० → ५ → १६ → ८ → ४ → २ → १.

या प्रमाणे कुठल्याही नैसर्गिक संख्येपासून सुरवात केल्यास अंतिम उत्तर १ मिळते हे आपण अनेक उदाहरणे घेऊन बघू शकतो. कळीची बाब आहे की या प्रक्रियेने नेहेमी उत्तर १ येईल हे सिद्ध करणे.

सदर चक्रीय किंवा पुनरावृत्ती गणिती प्रक्रिया लोथर कोलॅत्झ (६ जुलै १९१० ते २६ सप्टेंबर १९९०) या जर्मन गणितज्ज्ञाने १९३७ साली मांडून उत्तर एकच येईल ही अटकळ प्रथम सादर केली. त्यामुळे तिला ‘कोलॅत्झ अटकळ’ असे नाव दिले गेले. मात्र ती अन्य नावांनीही संबोधली जाते जशी की, (३न+१) समस्या, उलाम अटकळ, थ्वेट्सची अटकळ, काकुतानी समस्या, हेसची पध्दत, आणि सिरॅक्युझ समस्या. ही अटकळ गणितात एक आव्हानात्मक भूमिका बजावत आहे कारण तिची परिपूर्ण सिध्दता देता न आल्याने पॉल एर्डोश (२६ मार्च १९१३ ते २० सप्टेंबर १९९६) या सुप्रसिद्ध गणितीने १९८० च्या दशकात असे म्हटले होते की कोलॅत्झ अटकळ सिद्ध करण्यास सध्याचे गणित अपुरे आहे! हे विधान एका बाजूने निराशा निर्माण करू शकते पण त्याच बरोबर, नवे सैध्दान्तिक गणित रचण्यास चालना देऊ शकते. 

नवल नाही की कोलॅत्झ अटकळ सिद्ध करणाऱ्या व्यक्तीला मोठी बक्षिसे जाहीर केलेली आहेत. उदाहरणार्थ, एर्डोश यांनीच ही अटकळ बरोबर किंवा चूक हे सिद्ध करणाऱ्या व्यक्तीस ५०० अमेरिकन डॉलर्स असे बक्षीस ठेवले होते. तर, सन २०२१ मध्ये Bakuage Co., Ltd या कंपनीने जपानी चलनात १२ कोटी येन, म्हणजे सुमारे १० लक्ष ८५ हजार अमेरिकन डॉलर्स असे बक्षीस जाहीर केले असून त्या बाबतचे नियम आणि इतर तपशील (इंग्रजी भाषेत) https://mathprize.net/files/collatz-conjecture-rule-en-20210707.pdf इथे उपलब्ध आहेत. संगणकाच्या मदतीने २०२० सालापर्यंत २^६८ म्हणजे २९५१४७९०५१७९३५२८२५८५६ या संख्येपर्यंत ही अटकळ बरोबर आहे असे आढळले आहे. अलीकडेच कोलॅत्झ अटकळ, (२^{१०००००} – १) या प्रचंड संख्येसाठीही बरोबर आहे असे निदर्शनास आले आहे. या विशिष्ट संख्येवर कोलॅत्झ प्रक्रिया करत जात असताना ४,८१,६०३ इतक्या विविध विषम संख्या आणि ८,६३,३२३ इतक्या विविध सम संख्या यांचा समावेश होऊन शेवटी एक हे उत्तर मिळते. कुठल्याही संख्येपासून सुरवात करून कोलॅत्झ प्रक्रिया शेवटी १ पर्यंत पोहोचण्यास किती पायऱ्या लागतील, मधल्या संख्यांचा क्रम कसा असेल, तसेच त्यात कमाल संख्या काय मिळेल हे बघण्यासाठी अनेक ऑनलाईन व्यवस्था उपलब्ध आहेत उदाहरणार्थ, https://goodcalculators.com/collatz-conjecture-calculator/

Visualization of the Collatz conjecture from http://www.algoritmarte.com

यावरून असे दिसते की संगणन प्रक्रियेचा धोपटमार्ग अनुसरून कोलॅत्झ अटकळीला मोठ्या प्रमाणात पुष्टी मिळाली आहे. त्याशिवाय तिला बऱ्याच मात्रेत बळकटी देणाऱ्या काही सिध्दता देखील पुढे आलेल्या आहेत. तरीही, तिला छेद देणारे उदाहरण (काउन्टर एक्झाम्पल) पुढील एखाद्या संख्येबाबत मिळणार नाही असे ठामपणे म्हणता येत नाही. याचा अर्थ असा की पुढील कुठल्याही एका संख्येवर कोलॅत्झची प्रक्रिया करत राहिल्यास एक हे उत्तर न मिळण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. अशी टांगती तलवार टाळण्यासाठी गणिती तर्कशास्त्र आधारित औपचारिक सिध्दता देऊन ती अटकळ बरोबर आहे हे दाखवणे याला पर्याय नाही. संशोधनासाठी प्रेरणा देणाऱ्या या अटकळीची विविधांगे अभ्यासणारे आत्तापर्यंत ४०० हून अधिक शोधलेख व इतर साहित्य प्रसिद्ध झालेले आहे, निरंतर होत आहे. या संदर्भात २००६ सालचे फील्ड्स पदक विजेता गणिती टेरेन्स टाओ यांनी ही अटकळ पूर्णपणे सिद्ध केली नसली तरी, २०१९ साली तिच्याबाबत त्यांनी काही लक्षणीय निष्कर्ष सिद्ध केले आहेत, तसेच तिच्याशी संबंधित काही नव्या अटकळीही मांडल्या आहेत. कोलॅत्झ अटकळ जवळपास ९९ टक्के संख्यांसाठी बरोबर आहे असे त्यांचे कार्य दाखवते.

कोलॅत्झ अटकळीची सिद्धता देण्यात एक प्रमुख अडचण म्हणजे दिलेल्या संख्येपासून किती पायऱ्यांत १ पर्यंत पोहोचता येईल, तसेच प्रक्रियेदरम्यान कमाल संख्या काय असेल या बाबत काही निश्चित असा आकृतिबंध (पॅटर्न) मिळत नाही. उदाहरणार्थ, वर पाहिल्याप्रमाणे ३६ पासून सुरु केल्यास २१ पायऱ्या आणि कमाल संख्या ५२, तर ३७ पासून सुरु केल्यासही २१ पायऱ्या आणि कमाल संख्या ११२ घेऊन शेवटी १ ही संख्या मिळते. मात्र १२ पासून सुरवात केल्यास ९ पायऱ्या आणि कमाल संख्या १६ पुरेशी ठरतात तर, २७ पासून सुरु केल्यास तब्बल १११ पायऱ्या आणि कमाल संख्या ९२३२ घेतल्यावर १ ही संख्या प्राप्त होते. म्हणजे किती पायऱ्या, तसेच या प्रक्रियेत किती वेळा सम आणि विषम संख्या येतील आणि त्या क्रमात सर्वात मोठी संख्या काय असू शकते यांचे सुरवातीस अनुमान लावणे शक्य नाही. तथापि या अनिश्चिततेचा फायदा संदेश गूढ करण्यास आणि वित्तीय व्यवहाराची विश्वसाहर्तता अबाधित राखण्यास होतो. या संबंधी लेखात पुढे चर्चा केली आहे.

ही अटकळ इतकी महत्त्वाची का आहे? पहिले कारण म्हणजे अंकशास्त्रासाठी (नंबर थिअरी) हा एक मूलभूत प्रश्न म्हणून बघितला जातो. दुसरे कारण असे की ‘रीमान परिकल्पना (हायपोथिसीस)’, ‘गोल्डबाख अटकळ (कंज्कचर)’ आणि ‘बिर्च-स्विनरटोन-डायर अटकळ (कंज्कचर)’ या आतापर्यंत सिद्ध न झालेल्या अन्य तीन गणिती समस्यांशी कोलॅत्झ अटकळीचा जवळचा संबंध आहे.

गणित अध्यापनात देखील कोलॅत्झ अटकळीचा वापर केला जातो. तिच्या कार्यप्रणालीत ठराविक प्रकारच्या प्रक्रिया परत परत केल्या जात असल्याने गणितातील चक्रीय किंवा पुनरावृत्ती पध्दती, आवर्तने आणि अंकशास्त्राचा पाया, या संकल्पना शिकवण्यास या अटकळीचा उपयोग केला जातो. मनोरंजनात्मक (रिक्रीयेशनल) गणिताला पुढे नेण्यातही तिचा कळीचा सहभाग आहे.

त्याशिवाय कोलॅत्झ अटकळीचे संगणकशास्त्रात व्यापक उपयोजन होत आहे. विशेषकरून संगणक रीतींची किंवा पद्धतीसंचांची (अल्गोरिदमस्) कार्यक्षमता आणि अचूकता तपासणी तसेच संगणकाच्या यांत्रिक भागातील दोष किंवा बिघाड शोधण्यात तिचा वापर होतो. सदर अटकळीचा आधार घेऊन संगणकशास्त्र, अभियांत्रिकी आणि वित्त क्षेत्रातील काही समस्यांचे सर्वोत्तम उत्तर काढण्यासाठी इष्टतमीकरण्याच्या (ऑप्टीमायझेशन) नव्या पध्दती विकसित करण्यास मदत मिळाली आहे.

फेसबुक सारख्या समाज माध्यमातून चित्र किंवा छायाचित्र पाठवताना काही वेळा ते गोपनीय ठेवणे गरजेचे असू शकते. त्या वेळी ते गूढ करून पाठवले जाते किंवा त्यावर एक प्रकारचे आवरण घातले जाते (मास्किंग). त्यामुळे इतरांना ते चित्र नसून काही तरी गिचमिड आहे असे दिसेल ज्यामुळे ते पाठवण्यात काही तंत्रदोष आहे असा समज होऊन त्याकडे दुर्लक्ष केले जाईल. चित्र गोंधळी स्वरुपात आणण्यासाठी जी पध्दत वापरली जाते (एन्क्रिप्शन), तिचे दोन भाग असतात. पहिल्या भागात चित्राचा प्रत्येक बिंदू (पिक्सेल) दुसरीकडे सरकवला जातो, आणि दुसऱ्या भागात त्याचे मूल्य बदलले जाते. वर उल्लेख केल्याप्रमाणे कोलॅत्झ प्रक्रिया किती पायऱ्यानंतर १ वर पोहोचेल याचा अंदाज लावणे शक्य नसते या गुणधर्माचा वापर त्यासाठी खुबीने केला जातो. त्यामुळे परिवर्तनाच्या शक्यता, २५६! = ८.५७ x १०^५०६ इतके महाकाय अंतराळ व्यापणाऱ्या असतात. सहाजिकच असे परिवर्तीत चित्र अतिशय खोलवर गहन होते आणि सहजासहजी त्याची उकल करणे शक्य नाही. ते बदल दूर करून (डीमास्किंग) मूळ चित्र प्राप्त करण्यासाठी (डीक्रिप्शन) केवळ लक्ष्यित व्यक्तिला त्याची किल्ली वेगळ्या माध्यमातून पाठवली जाते. जसे की, गूढ केलेले चित्र ध्वनी (ऑडीयो) स्वरुपात व्हॉटसअँप या एका माध्यमातून तर, त्याची किल्ली इ-मेल या दुसऱ्या माध्यमातून लक्ष्यित व्यक्तिला पाठवता येते. उदाहरणार्थ, आकृती १(अ) मध्ये मूळ चित्र दाखवले आहे. ते चित्र ध्वनी माध्यमात गूढ केले असून ते कसे दिसते हे १(ब) मध्ये दाखवले आहे. ती गूढता दूर करून १(क) असे प्राप्त झालेले चित्र आहे, जे मूळ चित्राशी जवळपास तंतोतंतपणे (९९.९%) टक्के जुळते.

मूळ कागदपत्रे आणि मुद्रित साहित्य यांची अधिकार नसताना नक्कल करणे हे चौर्य असून अनुक्रमे कार्यालय व्यवस्था आणि लेखक व प्रकाशकांसाठी मारक असते. ते पकडण्यासाठी अनेकदा मूळ प्रत असलेल्या कागदांवर अंधुकसे दिसणारे किंवा पारदर्शक असे जलचिन्ह (वॉटरमार्क) समाविष्ट करण्याची पध्दत माहिती तंत्रज्ञानशाखेत सुचवली जाते. त्याचप्रमाणे आज्ञावली चौर्य (सॉफ्टवेअर पायरसी), हे संगणक आज्ञावली तयार करणाऱ्या व्यक्ती किंवा संस्थेला नुकसान देणारे असते. तसे चौर्य केले गेल्याचा शोध घेण्यासाठी अंकीय ‘आज्ञावली जलचिन्ह’ (सॉफ्टवेअर वॉटरमार्किंग) अशा प्रकारच्या पध्दती विकसित केल्या जात आहेत. या जलचिन्ह पध्दती एकूण आज्ञावलीमध्ये स्थिर किंवा गतिमान पद्धतीने काम करतील अशा असू शकतात. त्या पध्दती अधिकाधिक गोंधळ निर्माण करतील हे ध्येय असते म्हणजे नक्कल करणे अतिशय जिकरीचे होईल अशा आज्ञावली जलचिन्ह प्रणाली तयार करणे हे आव्हान आहे. त्यासाठी आता कोलॅत्झ प्रक्रियेचा आधार घेतला जातो. यामुळे ते जलचिन्ह आज्ञावलीत कुठे आहे हे शोधून काढणे आणि ते बाहेर काढून टाकणे हे अतिशय कठीण होते. आज्ञावलीची नक्कल करणे त्यामुळे दुरापास्त होते.

सन २००९ मध्ये बाजारात आलेले ‘ब्लॉकचेन’ हे तंत्रज्ञान वित्तीय क्षेत्रात महाकाय अंकीय जाळ्यांमार्फत होणारी उलाढाल प्रत्येक आर्थिक व्यवहार झालेल्या वेळेचा दाखला देऊन (टाईम स्टॅम्पिंग) केली जाईल असे सुनिश्चित करते. यात कुठल्याही दोन पक्षांत घडलेल्या व्यवहाराचा मागोवा घेणे वेळेची साक्ष मिळत असल्याने (पीअर-टू-पीअर प्रूफ ऑफ वर्क) तो पुरावा बदलणे किंवा त्यात ढवळाढवळ करणे कोणालाही सहसा शक्य नसते. त्यामुळे पारदर्शकता येऊन व्यवहार सुरक्षित राहील याची हमी मिळते. ही संपूर्ण प्रणाली अधिक सक्षम करण्यासाठी कोलॅत्झ अटकळीच्या प्रक्रियेचा वापर तपासाला गेला असून त्याचे उत्साहवर्धक निष्कर्ष मिळाले आहेत.

कोलॅत्झ अटकळीची व्यापकता वाढवण्याचे प्रयत्न केले गेले आहेत. त्यातून असे आढळते की शून्य वगळता कुठलीही ऋण संख्या घेऊन कोलॅत्झ अटकळीच्या पायऱ्यांचे नियम कुठलाही बदल न करता वापरले तर, शेवटी उत्तर -१, -५ आणि -१७ या तीन संख्यांपैकीच कोणते तरी एक येते. हे खालीलप्रमाणे घडत असल्याने होते :

-१ → -२ → -१ …

-५ → -१४ → -७ → -२० → -१० → -५ …

-१७ → -५० → -२५ → -७४ → -३७ → -११० → -५५ → -१६४ → -८२ → -४१ → -१२२ → -६१ → -१८२ → -९१ → -२७२ → -१३६ → -६८ → -३४ → -१७ …

उदाहरणार्थ, सुरवातीच्या संख्या -६, -१९ आणि -३३ घेतल्यास, कोलॅत्झ अटकळीच्या पायऱ्या वापरून अनुक्रमे पुढील क्रम मिळतात :

-६ → -३ → -८ → -४ → -२ → -१.

-१९ → -५६ → -२८ → -१४ → -७ → -२० → -१० → -५.

-३३ → -९८ → -४९ → -१४६ → -७३ → -२१८ → -१०९ → -३२६ → -१६३ → -४८८ → -२४४ → -१२२ → -६१ → -१८२ → -९१ → -२७२ → -१३६ → -६८ → -३४ → -१७.

अर्थातच ऋण संख्यांसाठी नेहमी असेच घडेल हे देखील सिद्ध झालेले नाही.

नोंद घेण्याची बाब म्हणजे २७ या संख्येला अंतिम १ या स्थळी पोहचण्यासाठी १११ पायऱ्या लागतात, मात्र -२७ ही संख्या पुढील केवळ पाच पायऱ्यांत ऋण संख्यांसाठी असलेल्या -५ या अंतिम स्थळी पोहोचते :

-२७ → -८० → -४० → -२० → -१० → -५.

तसे पाहिल्यास पुनरावृत्ती कार्य करण्यासाठी संगणक हे आदर्श यंत्र आहे आणि कोलॅत्झ अटकळीच्या पायऱ्या पुनरावृत्ती स्वरूपाच्या असल्यामुळे त्याचा वापर दिलेली कुठलीही नैसर्गिक संख्या १ पर्यंत कशी पोहोचेल हे समजण्यास चपखल आहे. मात्र तसे का घडते हे सांगण्यास सामान्य संगणक असमर्थ आहे. स्वाभाविकच प्रश्न उद्भवतो की आता उपलब्ध होत असलेले कृत्रिम बुद्धिमत्तायुक्त अतिशय सक्षम संगणक आणि गणिती प्रमेय तपासणाऱ्या नव्या स्वयंचलित प्रणाल्या (ऑटोमेटेड प्रूफ चेकिंग सिस्टिम्स) त्या बाबत मदत करू शकतील का? असे प्रगत संगणक जरी दिलेल्या संख्येसाठी ही अटकळ बरोबर आहे हे अधिक गतीने संगणन करून सांगत असले तरी, तिची परिपूर्ण सिध्दता देऊ शकलेले नाही हे वास्तव आहे. तसेच चॅटजीपीटी या कृत्रिम बुद्धिमत्ता प्रणालीची अगदी अलीकडची आवृत्ती देखील या संदर्भात फारशी मदतशीर ठरलेली नाही.

म्हणून सध्या गणिती वर्तुळात असा मतप्रवाह आहे की, कोलॅत्झ अटकळ बरोबर आहे पण, ती अनिर्णेय (अनडीसायडेबल) आहे. ती अनिर्णेय आहे हे सिद्ध करणे देखील अनिर्णेय असू शकते! या वरून असे सुचवले जाते की कोणते प्रश्न सोडवण्यास मनुष्य आणि संगणन यंत्र किंवा यंत्रमानव यांच्यापैकी कोण अधिक सक्षम आहे या व्यापक मुद्द्याच्या चर्चेची सुरवात कोलॅत्झ अटकळीने केली जावी असा पायंडा पाडता येईल.

---

डॉ. विवेक पाटकर

(डॉ. विवेक पाटकर हे ‘मराठी विज्ञान परिषद’ च्या गणितसंबंधी उपक्रमांना मार्गदर्शन करतात; ते तिच्या स्थायी समिती आणि मासिक पत्रिकेच्या संपादक मंडळाचे सभासद आहेत. मराठी विज्ञान परिषद पत्रिकेच्या जुलै २०२४च्या अंकात हा लेख प्रसिध्द झाला होता. )