।।अल्पारंभ: क्षेमकर:।।

–

या महिन्यात मैत्री दिन (Friendship Day) साजरा झाला. मित्र म्हणजे आनंद वाटून घेणारा आपला जिवलग साथीदार ! गणितातही काही संख्याही एकमेकांच्या “मित्र” असतात! त्यांच्या परस्पर संबंधांमुळे गणितज्ञांनी त्यांना “मैत्री अंक” (Amicable Numbers) असे नाव दिले आहे. त्याविषयी अल्पारंभ फाऊंडेशन संचलित ‘कापरेकर कॉर्नर’ या उपक्रमाशी निगडीत ही पोस्ट!

भारतीय गणितविश्वातील तेजस्वी तारा श्रीनिवास रामानुजन यांना संख्यांचे विलक्षण आकर्षण होते. प्रत्येक संख्येचे स्वतःचे व्यक्तिमत्त्व आणि वैशिष्ट्य असते, असे त्यांना वाटत असे. संख्यांमधील नातेसंबंध, त्यांचे लपलेले गुणधर्म आणि त्यामागील सौंदर्य शोधण्यात त्यांना विशेष रस होता. अशाच अनेक विषयांपैकी एक म्हणजे मैत्री अंक.

मैत्री अंक म्हणजे काय?
दोन संख्यांच्या स्वतःला वगळून उरलेल्या सर्व धन विभाजकांची बेरीज जर एकमेकांइतकी होत असेल, तर त्या दोन संख्यांना मैत्री अंक म्हणतात.

हे समजून घेण्यासाठी जगातील सर्वात प्रसिद्ध जोडी पाहूया.
220 या संख्येचे स्वतःला वगळून विभाजक आहेत –
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 आणि 110. या सर्वांची बेरीज होते 284.
आता 284 चे स्वतःला वगळून विभाजक आहेत –
1, 2, 4, 71 आणि 142.
या सर्वांची बेरीज होते 220.
म्हणजेच 220 आणि 284 या दोन्ही संख्या एकमेकांकडे परत येतात. जणू त्या एकमेकांची काळजी घेतात, एकमेकांना पूर्ण करतात. म्हणूनच त्यांना मैत्री अंक असे सुंदर नाव दिले गेले आहे.

हजारो वर्षांची परंपरा आणि रामानुजनांचे योगदान
220 आणि 284 ही मैत्री अंकांची जोडी प्राचीन ग्रीक गणितज्ञांना सुमारे दोन हजार वर्षांपूर्वीपासून माहिती होती. परंतु या संकल्पनेला पुढे नेण्याचे आणि तिचा अधिक सखोल अभ्यास करण्याचे मोठे कार्य श्रीनिवास रामानुजन यांनी केले. रामानुजन यांनी केवळ या विषयाचा अभ्यासच केला नाही, तर नवीन मैत्री अंकांच्या जोड्या शोधल्या आणि अशा जोड्या तयार करण्यासाठी नवीन गणिती सूत्रे आणि पद्धती विकसित केल्या. त्यामुळे संख्याशास्त्राच्या (Number Theory) इतिहासात त्यांचे योगदान अत्यंत महत्त्वाचे मानले जाते. रामानुजन यांनी अभ्यासलेल्या काही प्रसिद्ध मैत्री अंकांच्या जोड्या पुढीलप्रमाणे आहेत –
• 17296 आणि 18416
• 63020 आणि 76084
• 66928 आणि 66992
• 67095 आणि 71145

याशिवाय 1184 आणि 1210 ही आणखी एक प्रसिद्ध मैत्री अंकांची जोडी आहे. तुम्ही तिचे विभाजक शोधून ती मैत्री अंकांची जोडी आहे हे स्वतः पडताळून पाहू शकता.
मैत्री अंकांपुढचे एक पाऊल…
रामानुजन यांना केवळ मैत्री अंकच नव्हे, तर इतर विशेष प्रकारच्या संख्यांमध्येही रस होता.

परिपूर्ण संख्या (Perfect Numbers)
ज्या संख्येच्या स्वतःला वगळून उरलेल्या विभाजकांची बेरीज तीच संख्या होते, तिला परिपूर्ण संख्या म्हणतात.
उदाहरणार्थ –
• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

समाजशील संख्या (Sociable Numbers)
समाजशील संख्या म्हणजे मैत्री अंकांचा विस्तारच होय. वरील दोन आणि या संख्यांमधील फरक काय ? तर ..
• परिपूर्ण संख्येत एकच संख्या स्वतःकडे परत येते.
• मैत्री संख्येत दोन संख्या एकमेकांकडे परत येतात.
• समाजशील संख्येत तीन किंवा अधिक संख्या एकमेकांचे चक्र तयार करतात.
उदाहरणार्थ,
1264460 → 1547860 → 1727636 → 1305184 → 1264460 या चार संख्यांचे प्रसिद्ध चक्र आहे. याचा अर्थ असा की पहिल्या संख्येच्या स्वतःला वगळून उरलेल्या विभाजकांची बेरीज दुसरी संख्या मिळते, दुसऱ्याची बेरीज तिसरी, तिसऱ्याची चौथी आणि चौथ्याची बेरीज पुन्हा पहिली संख्या मिळते. त्यामुळे या संख्या एका मित्रमंडळाप्रमाणे एकमेकांशी जोडलेल्या असतात. म्हणून त्यांना समाजशील संख्या असे म्हणतात.

पूर्वी अनेक संस्कृतींमध्ये 220 आणि 284 या संख्यांना मैत्री, विश्वास आणि जिव्हाळ्याचे प्रतीक मानले जात असे. मध्ययुगात काही ठिकाणी मित्रांना किंवा नवविवाहितांना या दोन संख्यांचे अंक कोरलेले ताईत किंवा भेटवस्तू दिल्या जात असत. असा समज होता की या संख्या परस्पर स्नेह आणि दीर्घकाळ टिकणाऱ्या नात्यांचे प्रतीक आहेत. गणितातील संख्यांनाही माणसांप्रमाणे मैत्री असू शकते, ही कल्पनाच किती सुंदर आहे!

रामानुजन आणि कापरेकर – दोन महान संख्या-शोधक
श्रीनिवास रामानुजन यांनी संख्यांमधील मैत्रीचे नाते उलगडले, तर नाशिकच्या द. रा. कापरेकर यांनी संख्यांमध्ये दडलेले अनेक विलक्षण नियम आणि वैशिष्ट्ये शोधून जगाला अचंबित केले. कापरेकर सरांनी 6174 (Kaprekar Constant), Kaprekar Numbers, Harshad Numbers, Self Numbers यांसारख्या अनेक संकल्पनांवर महत्त्वपूर्ण संशोधन केले. जरी त्यांनी मैत्री अंकांवर स्वतंत्र संशोधन केले नसले, तरी दोघांच्याही कार्यातून एक गोष्ट स्पष्ट होते—संख्या या केवळ मोजणीचे साधन नसून त्या संशोधन, निरीक्षण, तर्कशक्ती आणि सर्जनशीलतेचे अद्भुत विश्व आहेत.
‘

कापरेकर कॉर्नर’ या आमच्या उपक्रमामार्फत तुम्हाला थोडा गृहपाठ ! बघा जमतेय का ?

1. 220 आणि 284 हे मैत्री अंक आहेत, हे स्वतः सिद्ध करून दाखवा.
2. 1184 आणि 1210 या संख्यांचे सर्व विभाजक शोधा आणि त्या मैत्री अंकांची जोडी आहे हे पडताळा.
3. 28 ही परिपूर्ण संख्या का आहे, हे स्वतःच्या शब्दांत लिहा.
4. समाजशील संख्यांच्या आणखी एका चक्राचा शोध घ्या.
5. द. रा. कापरेकर यांनी शोधलेल्या 6174, Kaprekar Numbers किंवा Harshad Numbers यांपैकी कोणत्याही एका विषयाची माहिती गोळा करा.
6. आणि सर्वात महत्त्वाचे – तुम्ही स्वतः एखाद्या संख्येमध्ये असा काही नवीन, मनोरंजक नियम शोधू शकता का? कदाचित पुढील रामानुजन किंवा कापरेकर तुमच्यापैकीच एखादा असेल!
   तुमची उत्तरे, निरीक्षणे किंवा नवीन शोध आम्हाला जरूर पाठवा.

श्री. रघुवीर अधिकारी

9822000883