।।अल्पारंभ: क्षेमकर:।।

–

(अल्पारंभ फाऊंडेशन संचलित ‘कापरेकर कॉर्नर’ या उपक्रमाशी निगडीत ही पोस्ट!)

संख्यांकडे थोड्या वेगळ्या नजरेने पाहिले, तर त्यांच्यात दडलेली लय आपल्याला जाणवते. या लेखात आपण संख्यांच्या वर्गांचे दोन भाग करू, त्या भागांमध्ये होणारे बदल पाहू आणि त्यांचा उपयोग करून मनातल्या मनात वर्ग काढू. यासाठी आपल्याला फक्त ० ते ९ या संख्यांचे वर्ग आणि थोडी बेरीज-वजाबाकी येणे पुरेसे आहे.

एका छोट्याशा निरीक्षणापासून सुरुवात करूया

४१ चा वर्ग १६८१ आहे. त्यातील शेवटचे दोन अंक वेगळे करून तो १६ | ८१ असा लिहूया. त्याचप्रमाणे, ४२² = १७ | ६४. उभी रेघ केवळ दोन भाग वेगळे दाखवते. हे भाग एकापुढे एक लिहिले की पूर्ण वर्ग मिळतो.

० ते ९ या संख्यांचे वर्ग प्रत्येकी दोन अंकांत लिहून लक्षात ठेवूया:

००, ०१, ०४, ०९, १६, २५, ३६, ४९, ६४, ८१

५० पासून मागे जात ४१ पर्यंत

५०² = २५ | ०० येथून सुरुवात करून तक्ता वरून खाली वाचा. म्हणजेच, ४१ ते ५० असा चढता तक्ता खालून वर वाचल्यावर दिसणारा क्रम येथे दिला आहे.

संख्या	५० पासूनचा फरक	डावा भाग	उजवा भाग	वर्ग
५०	०	२५	००	२५००
४९	१	२४	०१	२४०१
४८	२	२३	०४	२३०४
४७	३	२२	०९	२२०९
४६	४	२१	१६	२११६
४५	५	२०	२५	२०२५
४४	६	१९	३६	१९३६
४३	७	१८	४९	१८४९
४२	८	१७	६४	१७६४
४१	९	१६	८१	१६८१

डाव्या भागात प्रत्येक वेळी १ कमी होत जातो: २५, २४, २३ … १६. उजव्या भागात ०, १, २ … ९ या संख्यांचे वर्ग दिसतात. दोन सोपे क्रम एकत्र आले आणि दहा संख्यांचे वर्ग तयार झाले!

आता ४६² काढूया. ४६ ही संख्या ५० पेक्षा ४ ने कमी आहे. म्हणून २५ मधून ४ वजा करा; मिळतील २१. फरकाचा वर्ग म्हणजे ४² = १६. दोन्ही भाग एकापुढे एक लिहा: २१ | १६ = २११६.

लक्षात ठेवा: ५० च्या खाली जाताना २५ मधून फरक वजा करा आणि त्यापुढे फरकाचा वर्ग दोन अंकांत लिहा.

५० पासून पुढे जात ५९ पर्यंत

५० च्या पुढे गेल्यावर काय होईल? आता डाव्या भागात प्रत्येक वेळी १ वाढतो. उजव्या भागात मात्र वर्गांचा तोच परिचित क्रम दिसतो.

संख्या	५० पासूनचा फरक	डावा भाग	उजवा भाग	वर्ग
५०	०	२५	००	२५००
५१	१	२६	०१	२६०१
५२	२	२७	०४	२७०४
५३	३	२८	०९	२८०९
५४	४	२९	१६	२९१६
५५	५	३०	२५	३०२५
५६	६	३१	३६	३१३६
५७	७	३२	४९	३२४९
५८	८	३३	६४	३३६४
५९	९	३४	८१	३४८१

५७² साठी, ५७ ही संख्या ५० पेक्षा ७ ने मोठी आहे. २५ मध्ये ७ मिळवा; मिळतील ३२. त्यापुढे ७² = ४९ लिहा. म्हणून ५७² = ३२ | ४९ = ३२४९.

लक्षात ठेवा: ५० च्या पुढे जाताना २५ मध्ये फरक मिळवा आणि त्यापुढे फरकाचा वर्ग दोन अंकांत लिहा.

१०० पासून मागे जात ९१ पर्यंत

आता १००² = १०० | ०० येथून सुरुवात करूया. १०० च्या आसपास डाव्या भागात प्रत्येक वेळी २ ने बदल होतो. उजव्या भागात पूर्वीप्रमाणेच फरकाचा वर्ग येतो.

संख्या	१०० पासूनचा फरक	डावा भाग	उजवा भाग	वर्ग
१००	०	१००	००	१००००
९९	१	९८	०१	९८०१
९८	२	९६	०४	९६०४
९७	३	९४	०९	९४०९
९६	४	९२	१६	९२१६
९५	५	९०	२५	९०२५
९४	६	८८	३६	८८३६
९३	७	८६	४९	८६४९
९२	८	८४	६४	८४६४
९१	९	८२	८१	८२८१

९६² साठी, ९६ ही संख्या १०० पेक्षा ४ ने कमी आहे. फरकाच्या दुप्पट संख्या वजा करा: १०० − ८ = ९२. त्यापुढे ४² = १६ लिहा. म्हणून ९६² = ९२ | १६ = ९२१६.

५० जवळ डाव्या भागात १ ने बदल होत होता; १०० जवळ तो २ ने होतो. लयीतील हा बदल लक्षात आला का?

१०० पासून पुढे जात १०९ पर्यंत

या दहा संख्यांसाठी स्वतंत्र तक्ता पाहूया. पुन्हा १०० | ०० येथून सुरुवात करा. यावेळी १०० च्या पुढे जाताना डाव्या भागात प्रत्येक वेळी २ मिळवा.

संख्या	१०० पासूनचा फरक	डावा भाग	उजवा भाग	वर्ग
१००	०	१००	००	१००००
१०१	१	१०२	०१	१०२०१
१०२	२	१०४	०४	१०४०४
१०३	३	१०६	०९	१०६०९
१०४	४	१०८	१६	१०८१६
१०५	५	११०	२५	११०२५
१०६	६	११२	३६	११२३६
१०७	७	११४	४९	११४४९
१०८	८	११६	६४	११६६४
१०९	९	११८	८१	११८८१

डावा भाग मोठ्याने वाचा: १००, १०२, १०४, १०६ … ११८. आता उजवा भाग वाचा: ००, ०१, ०४, ०९ … ८१. दोन्ही भागांतील लय ओळखता येते का?

१०७² साठी फरक आहे ७. त्याच्या दुप्पट संख्या १०० मध्ये मिळवा: १०० + १४ = ११४. त्यापुढे ७² = ४९ लिहा. म्हणून १०७² = ११४ | ४९ = ११४४९.

लक्षात ठेवा: १०० च्या पुढे जाताना १०० मध्ये फरकाच्या दुप्पट संख्या मिळवा आणि त्यापुढे फरकाचा वर्ग दोन अंकांत लिहा.

५० च्या प्रत्येक पटीभोवती हाच खेळ

५०, १००, १५०, २०० अशा ज्या संख्येभोवती आपण हा खेळ पाहतो, तिला आधारसंख्या म्हणूया. १५० च्या आसपास डावा भाग प्रत्येक वेळी ३ ने बदलतो; २०० च्या आसपास तो ४ ने बदलतो. या बदलाला आपण टप्पा म्हणू. आधारसंख्येला ५० ने भागले की टप्पा मिळतो.

आधारसंख्या	सुरुवातीचा डावा भाग	टप्पा	खालचा गट	वरचा गट
५०	२५	१	४१–५०	५०–५९
१००	१००	२	९१–१००	१००–१०९
१५०	२२५	३	१४१–१५०	१५०–१५९
२००	४००	४	१९१–२००	२००–२०९
२५०	६२५	५	२४१–२५०	२५०–२५९
३००	९००	६	२९१–३००	३००–३०९

सुरुवातीचा डावा भाग आधारसंख्येच्या वर्गातून मिळतो. १५०² = २२५ | ००, म्हणून सुरुवात २२५ पासून करा. २००² = ४०० | ००, म्हणून सुरुवात ४०० पासून करा.

प्रत्येक गटात आधारसंख्या धरून दहा संख्या आहेत. या सोप्या पद्धतीसाठी आधारसंख्येच्या दोन्ही बाजूंना नऊ संख्यांपर्यंतच जा. त्यामुळे फरकाचा वर्ग दोन अंकांत व्यवस्थित बसतो.

आता १५० च्या आसपास पाहूया

२२५ | ०० येथून सुरुवात करा आणि ३ चा टप्पा वापरा. १५० च्या खाली जाताना डावा भाग कमी होतो आणि पुढे जाताना तो वाढतो.

संख्या	डावा भाग	उजवा भाग	वर्ग
१४७	२१६	०९	२१६०९
१४८	२१९	०४	२१९०४
१४९	२२२	०१	२२२०१
१५०	२२५	००	२२५००
१५१	२२८	०१	२२८०१
१५२	२३१	०४	२३१०४
१५३	२३४	०९	२३४०९

१४७² साठी, १४७ ही संख्या १५० पेक्षा ३ ने कमी आहे. प्रत्येकी ३ चे तीन टप्पे म्हणजे ९. म्हणून २२५ मधून ९ वजा करा; मिळतील २१६. त्यापुढे ३² = ०९ लिहा. म्हणून १४७² = २१६ | ०९ = २१६०९.

१५३² साठी, १५३ ही संख्या १५० पेक्षा ३ ने मोठी आहे. २२५ मध्ये ९ मिळवा; मिळतील २३४. त्यापुढे ०९ लिहा. म्हणून १५३² = २३४ | ०९ = २३४०९.

१४७ आणि १५३ या दोन्ही संख्या १५० पासून सारख्याच अंतरावर आहेत. म्हणून त्यांच्या वर्गांतील शेवटचे दोन अंक सारखेच आहेत: ०९. आपल्या तक्त्यांमध्ये प्रत्येक आधारसंख्येभोवती अशा जोड्या शोधता येतील.

लक्षात ठेवण्यासाठी चार सोप्या पायऱ्या

१. आधारसंख्या निवडा. ज्या संख्येचा वर्ग काढायचा आहे, तिच्यापासून जास्तीत जास्त ९ चा फरक असलेली ५० ची पट निवडा. तिच्या वर्गातील शेवटचे दोन अंक वेगळे केल्यावर सुरुवातीचा डावा भाग मिळेल.

२. फरक आणि टप्पा शोधा. दिलेली संख्या आणि आधारसंख्या यांतील अंतर म्हणजे फरक. आधारसंख्येला ५० ने भागले की टप्पा मिळतो.

३. डाव्या भागात बदल करा. फरक आणि टप्पा यांचा गुणाकार करा. दिलेली संख्या आधारसंख्येपेक्षा लहान असेल तर हा गुणाकार डाव्या भागातून वजा करा; मोठी असेल तर त्यात मिळवा.

४. उजवा भाग लिहा. फरकाचा वर्ग दोन अंकांत लिहा. डावा आणि उजवा भाग एकापुढे एक लिहिले की उत्तर मिळते.

उजव्या भागात नेहमी दोन अंक ठेवा. ००, ०१, ०४ आणि ०९ यांतील सुरुवातीचा शून्य विसरू नका. उदाहरणार्थ, २१६ | ०९ म्हणजे २१६०९.

आता पुढचे गट तुम्ही स्वतः तयार करा

प्रथम ४८², ५४², ९३², १०८², १४९² आणि २०२² काढून पाहा. नेहमीच्या गुणाकाराने तुमची उत्तरे तपासा.

त्यानंतर १४१–१५० आणि १५०–१५९ यांचे तक्ते तयार करा. २२५ | ०० पासून सुरुवात करून ३ चा टप्पा वापरा. मग १९१–२०० आणि २००–२०९ यांचे तक्ते तयार करा. त्यासाठी ४०० | ०० पासून सुरुवात करून ४ चा टप्पा वापरा. उजव्या भागात फरकांच्या वर्गांचा तोच क्रम राहील.

२५० च्या आसपास काय होईल? तक्ता लिहिण्यापूर्वीच सुरुवातीचा डावा भाग आणि टप्पा सांगता येईल का? कोणत्या जोड्यांतील संख्यांच्या वर्गांचे शेवटचे दोन अंक सारखे येतील?

आधारसंख्या ५० ने वाढत जातात, डाव्या भागातील बदलाचे टप्पे १, २, ३, ४ … असे येतात आणि उजव्या भागात ० ते ९ चे परिचित वर्ग पुन्हा दिसतात. बारकाईने पाहण्याची हीच तर गंमत आहे! एका छोट्याशा निरीक्षणातून संख्यांमधील अनेक नवे नियम आणि त्यांची सुंदर लय उलगडू शकते.

---

श्री. रघुवीर अधिकारी

9822000883