।।अल्पारंभ: क्षेमकर:।।

–

अल्पारंभ फाऊंडेशन – ‘गणित : कापरेकर कॉर्नर उपक्रम’ या अंतर्गत पुढील लेख.

शालेय आणि महाविद्यालयीन गणिती पाठ्यक्रमांत नैसर्गिक संख्यांपासून सुरवात करून पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, वास्तव, मूळ किंवा अविभाज्य आणि संमिश्र संख्या यांची ओळख करून दिली जाते. मात्र याशिवाय काही विशिष्ट गुणधर्म असलेल्या अनेक प्रकारच्या संख्या आहेत आणि त्या रंजक नावांनी ओळखल्या जातात. उदाहरणार्थ, मित्र संख्या, आत्मप्रेमी संख्या, रक्तपिपासू संख्या इत्यादी. अभिनास्पद बाब म्हणजे अंक आणि संख्यांचा आयुष्यभर अभ्यास केलेल्या ‘गणितानंदी’ दत्तात्रय रामचंद्र कापरेकर (१७ जानेवरी १९०५ ते ५ जुलै १९८६) या महाराष्ट्रातील गणित शिक्षकाने डेम्लो संख्या, दत्तात्रय संख्या, मर्कट संख्या, हर्षद संख्या, विजय संख्या अशा नानाविध संख्यांची त्यात भर घातली आहे. थोडक्यात, गणितामध्ये संख्यांचे घनदाट जंगल निर्माण झाले आहे असे म्हणता येईल. त्यातील एक संख्या, ‘विलोमपद’ किंवा ‘मुरजबंध’ (पॅलीनड्रोम) संख्या या नावाने संबोधली जाते. तिचा मुख्य गुणधर्म असा की, ती संख्या डावीकडून उजवीकडे आणि उजवीकडून डावीकडे लिहिल्यास तिच्यात फरक पडत नाही. तिच्या लांबीवर कोणतीही मर्यादा नाही. अशा पॅलीनड्रोम संख्या मनोरंजनात्मक गणिताचा भाग असला तरी, आता त्यांचा गणिताच्या मुख्य प्रवाहात प्रवेश झाला आहे. कित्येक गणितज्ञ त्यांचा गंभीर अभ्यास करताना आढळतात. त्याशिवाय त्यांचा वापर विविध उपयोजनांत आणि क्षेत्रांत उपयुक्त ठरत आहे. तेव्हा या संख्यांबद्दल अधिक जाणून घेऊ.

         एक अंकी संख्या म्हणजे ०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८ आणि ९ ह्या पहिल्या दहा पॅलीनड्रोम संख्या आहेत. त्यानंतरच्या दोन अंकी पॅलीनड्रोम संख्या एकूण नऊ असून त्या पुढीलप्रमाणे आहेत : ११, २२, ३३, ४४, ५५, ६६, ७७, ८८, आणि ९९. तीन आणि चार अंकी पॅलीनड्रोम संख्या प्रत्येकी ९० आहेत तर, पाच आणि सहा अंकी पॅलीनड्रोम संख्या प्रत्येकी ९०० आहेत. अर्थातच एकूण पॅलीनड्रोम संख्या अनंत आहेत. पॅलीनड्रोम संख्या शोधायच्या तर संगणकाची अतिजलद गणन-शक्ती वापरून प्रत्येक पूर्णांक संख्या घेऊन ती पॅलीनड्रोम संख्या आहे का हे शोधत राहाणे हा एक धोपटमार्ग वापरला जाऊ शकतो. त्याला पर्याय म्हणून सहज आणि औपचारिकरीत्या पॅलीनड्रोम संख्या तयार करण्याची आवर्तनी पध्दत खालीलप्रमाणे आहे :

पायरी १ : कुठलीही घन पूर्णांक संख्या घ्या. ती पॅलीनड्रोम संख्या असेल तर थांबा. अन्यथा पायरी २ वर जा.

पायरी २ : त्या संख्येतील अंकांचा उलटा क्रम लावून नवी संख्या प्राप्त करा.

पायरी ३ : पायरी १ आणि पायरी २ मधील संख्यांची बेरीज करा.

पायरी ४ : पायरी ३ मध्ये प्राप्त संख्या पॅलीनड्रोम संख्या असेल तर थांबा, अन्यथा पायरी ५ वर जा.

पायरी ५ : हीच प्रक्रिया पॅलीनड्रोम संख्या मिळेपर्यंत चालू ठेवा.

वरील आवर्तनी प्रक्रियेने काही पायऱ्यानंतर बहुतेक वेळा पॅलीनड्रोम संख्या मिळेल. उदाहरणार्थ, आपण ९५ ही दोन अंकी संख्या घेऊ. ती पॅलीनड्रोम संख्या नाही तरी, वरील पध्दतीने पुढे जाऊ : ९५ + ५९ = १५४, १५४ + ४५१ = ६०५, ६०५ + ५०६ = ११११, जी पॅलीनड्रोम संख्या आहे. इथे आपण ३ आवर्तनांत पॅलीनड्रोम संख्या मिळवू शकलो. सुरुवातीची तीन अंकी संख्या ३८१ घेतल्यास, पुढील ४ आवर्तनांत १३४३१ ही पॅलीनड्रोम संख्या मिळते : ३८१ + १८३ = ५६४, ५६४ + ४६५ = १०२९, १०२९ + ९२०१ = १०२३०, १०२३० + ३२०१ = १३४३१. पण ५६ ही सुरवातीची संख्या असल्यास तिच्यापासून ५६ + ६५ = १११ ही पॅलीनड्रोम संख्या एका आवर्तनात मिळते. यावरून लक्षात येते की पॅलीनड्रोम संख्या मिळण्यासाठी आवर्तनांची संख्या एकसारखी नसते. या संदर्भात संख्या, त्यातील वाढत जाणाऱ्या अंकांची संख्या आणि पॅलीनड्रोम संख्या मिळवण्यासाठी लागणारी कमाल आवर्तनांची संख्या तक्ता १ मध्ये नमुन्यादाखल दिली आहे. सदर प्रक्रियेत दोन संख्यांची बेरीज परत परत केली जात असल्याने प्रत्येक आवर्तनाने अधिक अंकी संख्या तयार होण्याची शक्यता वाढते. त्यामुळे साहजिकच अंतिम पॅलीनड्रोम संख्या विशाल असते. उदाहरणार्थ, तक्ता १ मधील पहिल्या ओळीतील ८९ या दोन अंकी आरंभीच्या संख्येवर २४ आवर्तने घेतल्यावर प्राप्त पॅलीनड्रोम संख्या ही १३ अंकी इतकी मोठी असून ती ८८१३२०००२३१८८ अशी आहे. त्यावरून त्या तक्त्यातील त्यापुढील वाढीव अंकी आरंभ संख्यांनी तयार होणाऱ्या पॅलीनड्रोम संख्या किती महाकाय असतील याची कल्पना येईल.

 तक्ता १ : पॅलीनड्रोम संख्या मिळवण्यासाठी कमाल आवर्तने

अंकांची संख्या	संख्या	कमाल आवर्तने
२	८९	२४
३	१८७	२३
४	१२९७	२१
५	१०,९११	५५
६	१,५०,२९६	६४
७	९०,०८,२९९	९६
८	१,०३,०९,९८८	९५
९	१४,०६,६९,३९०	९८
१०	१००,५४,९९,५२६	१०९
११	१०,०८,७७,९९,५७०	१४९
१२	१,००.००,१९,८७,७६५	१४३
१३	१६,००,००,५९,६९,१९०	१८८
१४	१,४१,०४,२२,९९,९९,९९५	१८२
१५	१०,०१,२०,८४,९२,९९,२६०	२०१
१६	१,०३,००,२०,०९,७९,९७,९००	१९७
१७	१०,४४,२०,००,३९,२३,९९,९००	२३६

सौजन्य : J. Doucette, “196 Palindrome Quest, Most Delayed Palindromic Number”, 2005. https://jasondoucette.com/worldrecords.html#196

         अर्थातच संगणकाची मदत घेऊन अधिक मोठ्या अंकी संख्यांनी पॅलीनड्रोम संख्या तयार करणे सतत चालू आहे. उदाहरणार्थ, अलीकडेच १६,९०,९७,३६,९६,९८,७०,७०,००,९०,८०० या २३ अंकी संख्येपासून २८९ आवर्तने घेऊन अजस्र अशी पॅलीनड्रोम संख्या तयार करण्यात आली आहे. मात्र सुरवातीची संख्या १९६ असल्यास, ही पध्दत वापरून पॅलीनड्रोम संख्या मिळते असे सिद्ध झालेले नाही. या संदर्भात आत्तापर्यंत सुमारे ७० कोटी आवर्तने घेऊन देखील १९६ पासून पॅलीनड्रोम संख्या मिळालेली नाही. असे का? हा प्रश्न अनुत्तरीत आहे. हेच २९५, ३९४, ४९३, ५९२, ६८९, ६९१, ७८८, ७९०, ८८७, आणि ९८६ यांच्या बाबतीत आढळले आहे. अशा संख्यांना लिच्रेल संख्या असे म्हटले जाते.

पॅलीनड्रोम संख्यांचे काही गणिती गुणधर्म नोंद घेण्यायोग्य आहेत. त्यातील एक म्हणजे अशा सर्व पॅलीनड्रोम संख्या, ज्यांच्यातील एकूण अंकांची संख्या सम असल्यास, त्यांना ११ ने पूर्ण भाग जातो (म्हणजे ११ ने भाग दिल्यावर बाकी शून्य असते). उदाहरणार्थ, ८२३३२८ ही पॅलीनड्रोम संख्या असून त्यात एकूण ६ म्हणजे, सम संख्येत अंक आहेत, तिला ११ ने पूर्ण भाग जातो आणि या भागाकाराचे उत्तर ७४८४८ असे मिळते. उपरोक्त विधानाची सिध्दता सोपी असून ती अशी आहे :

आपण ‘अबबअ’ ही चार अंकी दशमान पद्धतीमधील पॅलीनड्रोम संख्या घेऊ, जिथे अ आणि ब हे कुठलेही घन पूर्णांक (पॉझिटिव्ह इंटिजर) आहेत. अबबअ या संख्येला तिच्या प्रत्येक अंकाच्या स्थानाप्रमाणे असे मांडता येईल :

अबबअ = १००० × अ + १०० × ब + १० × ब + १ × अ = (१००० × अ + १ × अ) + (१०० × ब + १० × ब) = १००१ × अ + ११० × ब = ११ × (९१ × अ + १० × ब)

म्हणजेच अबबअ ही संख्या ११ आणि (९१ x अ + १० x ब) या पूर्णांकांच्या गुणाकाराने तयार होते. यावरून सिद्ध होते की, ११ ने अबबअ या चार अंकी पॅलीनड्रोम संख्येला पूर्ण भाग जातो. याच पध्दतीने सहा, आठ, दहा इत्यादी सम अंक असलेल्या संख्यांना ११ ने पूर्ण भाग जातो हे सिद्ध करता येते.

         पॅलीनड्रोम संख्यांवर विशिष्ट प्रक्रिया केल्यावर अतिशय सुरेख आकृतिबंध तयार होतो. असाच एक काटकोन त्रिकोणात बसवलेला आकृतिबंध आकृती १ मध्ये सादर केला आहे. तिथे डाव्या बाजूला अंकांची संख्या एकने वाढत जाणाऱ्या आठ पॅलीनड्रोम संख्यांतील त्या त्या अंकांची बेरीज आहे, जी क्रमश: १ ते ८ या संख्यांचा वर्ग आहे आणि ते उजव्या बाजूला दर्शवले आहे.

         अशा विशिष्ट पॅलीनड्रोम संख्या, ज्यांचा पहिला आणि शेवटचा अंक १ आहे आणि प्रत्येक ओळीतील आतील संख्यां तिच्या वरच्या ओळीतील दोन लागोपाठच्या संख्यांच्या बेरजेने तयार केली आहे त्या मेरू प्रस्तरासम आणखी एक सुंदर त्रिकोण निर्माण करतात. त्याला ‘पास्कलचा त्रिकोण’ म्हणून संबोधले जात असले जरी त्याचा संदर्भ प्राचीन भारत, चीन, प्रुशिया इत्यादी देशांतील गणिती साहित्यात आढळतो. आकृती २ मध्ये या त्रिकोणाच्या पहिल्या आठ ओळी नमुना म्हणून सादर केल्या आहेत. या त्रिकोणाचा द्विपद सिद्धांताशीही (बायनोमिअल थेरम) घनिष्ट संबंध आहे.

काही पॅलीनड्रोम संख्या मूळ किंवा अविभाज्य संख्या आहेत, उदाहणार्थ, १०१, १३१ आणि ९२९. लक्षात घ्या की १ ते १,००० दरम्यान १६८ मूळ संख्या आणि १०९ पॅलीनड्रोम संख्या आहेत. त्या १६८ मूळ संख्यात केवळ १६ पॅलीनड्रोम संख्या आहेत, म्हणजे सुमारे १० टक्के. पुढे पुढे मूळ संख्यांचे प्रमाण कमी होत जाते आणि त्यात पॅलीनड्रोम संख्यांची टक्केवारी आणखी कमी होत जाणे असा कल आढळतो.

कुठल्याही दोन अंकी पॅलीनड्रोम संख्येला ३७ या मूळ संख्येने भाग जात नाही. मात्र, अशा अनेक तीन किंवा अधिक अंकी पॅलीनड्रोम संख्या आहेत ज्यांना ३७ ने पूर्ण भाग जातो. आणि असे असल्यास, त्या संख्यांना ३ आणि १११ या पॅलीनड्रोम संख्यांनी देखील पूर्ण भाग जातो, कारण ३ × ३७ = १११. उदाहरणार्थ, १२३२१ या पाच अंकी आणि ९५११५९ या सहा अंकी पॅलीनड्रोम संख्यांना ३७ तसेच ३ व १११ ने भाग जातो. या विधानाची सिध्दता उपलब्ध आहे पण ती प्रगत गणितातील संकल्पना वापरत असल्यामुळे इथे दिलेली नाही.

अशा संख्यांना ‘पॅलीनड्रोम वर्ग’ संख्या म्हटले जाते, ज्या अन्य संख्यांचा वर्ग असतात. उदाहरणार्थ, १२१ (= ११^२), ४८४ (= २२^२) आणि ६७६ (= २६^२). मात्र कुठलीही ज्ञात पॅलीनड्रोम वर्ग संख्या अशी नाही जी २, ४, ८, १० किंवा १४ अंकी आहे. पॅलीनड्रोम वर्ग संख्याप्रमाणेच ‘पॅलीनड्रोम घन’ संख्याही अस्तित्वात आहेत. पॅलीनड्रोम घन संख्या म्हणजे ज्या अन्य संख्यांचा घन असतात. उदाहरणार्थ, ८ (= २^३), ३४३ (= ७^३) आणि १३३१ (= ११^३). साधारणपणे पॅलीनड्रोम घन संख्या या पॅलीनड्रोम घन संख्यांपासूनच तयार होतात. याला अपवाद केवळ २२०१ या एकमेव पॅलीनड्रोम नसलेल्या संख्येचा आहे, जिचा घन पॅलीनड्रोम संख्या आहे (१०६६२५२६६०१).

लागोपाठचे पुर्णांक असणाऱ्या १६ आणि १७ या संख्यांची जोडीही वैशिष्टपूर्ण असून त्या दोन्ही संख्या विविध तऱ्हेने मिळून कित्येक पॅलीनड्रोम संख्या तयार करतात. त्याची कल्पना पुढील गणिती प्रक्रियांवरून मिळते : १६ × १७ = २७२; १६ + १७ = ३३; (१६)^२ + (१७)^२ = ५४५; (१६)^३ + (१७)^३ = ९००९; १७ – १६ = १; (१७)^२ – (१६)^२ = ३३. त्याशिवाय १६ व १७ या संख्यांत ७० या पूर्णांकाची मध्यस्थानी विशिष्ट प्रकारे जोड दिल्यास आणखी पॅलीनड्रोम संख्या पुढीलप्रमाणे तयार होतात : (१७०६)^२ + (१७०७)^२ = ५८२४२८५; (१७०७०६)^२ + (१७०७०७)^२ = ५८२८१४१८२८५; (१७०७०७०६)^२ + (१७०७०७०७)^२ = ५८२८१८०४०८१८२८५. अशीच पॅलीनड्रोम संख्या तयार करणारी १६२१ व १६२२ ही एक जोडी आहे कारण, १६२१ x १६२२ = २६२९२६२ आणि (१६२१)^२ + (१६२२)^२ = ५२५८५२५. अशा आणखी जोड्या शोधून काढणे हा चांगला छंद असू शकतो.

         मनोरंजनात्मक गणितात अशा विविध जोड्या, त्रिकुटे इत्यादी शोधणे हा पॅलीनड्रोम संख्यांच्या निर्मितीचा एक वेगळा भाग आहे. याशिवाय घड्याळ्यातील १२:२१ अशी दर्शवली जाणारी वेळ आणि दिनदर्शिकेतील ०२/०२/२०२० हा दिनांक, या पॅलीनड्रोम संख्यांचे एक वेगळे रूप आहे. तसेच काही शब्द (उदा., जहाज, मलयालम) आणि वाक्ये (उदा., चीमा काय कामाची) पॅलीनड्रोमचा गुणधर्म दाखवतात. इंग्रजीमधील वाक्य, “never odd or even” हे गणित-संबंधित पॅलीनड्रोम असून ते पूर्णांक नसलेल्या परिमेय, अपरिमेय आणि इतर अनेक संख्या सूचित करते. गणिताशी संबंध असलेली अशी अर्थपूर्ण पॅलीनड्रोमिक वाक्ये विविध भाषांत तयार करणे हे एक मनोरंजक आव्हान आहे. असे गणिती प्रकल्प हाती घेऊन गणित, तसेच भाषेचे अध्ययन आणि अध्यापन आनंदी होऊ शकते.

         पॅलीनड्रोम संख्या शुध्द किंवा मूलभूत गणिताच्या अंकशास्त्र (नंबर थिअरी) या उपविषयात मोलाची भर घालतात. त्यातील एक म्हणजे, पूर्णांक संख्यांच्या निर्मितीमध्ये त्यांची कळीची भूमिका. ती अशी आहे – ‘दशमान पद्धतीमधील प्रत्येक घन पूर्णांक संख्या जास्तीत जास्त तीन पॅलीनड्रोम संख्यांची बेरीज असते.’ उदाहरणार्थ, ७३ = ५५ + २२ + १ आणि १३० = १२१ + ९. तथापि २१, ३२, ४३ आणि ५४ या संख्या केवळ दोन पॅलीनड्रोम संख्यांची बेरीज करून मिळवता येत नाहीत. त्याचप्रमाणे ५, ६, ७, ८ आणि ९ हा पाया वापरून तयार केलेली प्रत्येक पूर्णांक संख्याही जास्तीत जास्त तीन पॅलीनड्रोम संख्यांची बेरीज असते. कुठल्याही निवडलेल्या पूर्णांक संख्येची अशी निर्मिती आणि त्याची पडताळणी करण्यासाठी संगणक प्रणाल्या विकसित केल्या गेल्या आहेत. त्यातील एक प्रणाली पुढील जोडणीवर उपलब्ध आहे :

https://www.rnta.eu/cgi-bin/three_palindromes/pal3.py

आपण दशमान पध्दतीत संख्या लिहिताना दहा हा पाया (बेस) मानला असतो आणि त्यात ०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, आणि ९ हे अंक वापरले जातात. उदाहरणार्थ, ७६२३ ही दशमान संख्या प्रत्यक्षात अशी असते :

 (७६२३)_१० = १०^३ × ७ + १०^२ × ६ + १०^१ × २ + १०^० × ३.  याच प्रकारे ३ आणि ४ हा पाया वापरून पूर्णांक संख्या तयार करता येतात आणि त्या या त्यातील तीन पॅलीनड्रोम संख्यांच्या बेरजेने मिळू शकतात, मात्र पाया २ वापरला (द्विमान संख्या) असल्यास, त्यातील प्रत्येक पूर्णांक संख्या चार पॅलीनड्रोम संख्यांची बेरीज असते. या विधानाची एक सिद्धता गणिती पद्धतीसंच (अॅल्गोरिदमिक) पद्धतीने दिलेली आहे पण तिची लांबी आणि क्लिष्टता विचारात घेऊन ती इथे टाळली आहे.

आणखी एक लक्षणीय गणिती निष्कर्ष सांगतो की ‘प्रत्येक पॅलीनड्रोम संख्येचा व्यस्त घेतला (इन्व्हर्स), आणि त्यांची बेरीज करत राहिल्यास ती श्रेणी (सिरीज) एका विशिष्ट संख्येवर अभिसारित (कॉन्व्हर्ज) होते.’ म्हणजेच, १ + १/२ + … + १/९ + १/११ + १/२२ + १/३३ + … या व्यस्त पॅलीनड्रोम संख्यांची बेरीज करत गेल्यास ती ३.३७०२८… या संख्येवर स्थिर होत जाते. ही अभिसारी प्रक्रिया मात्र अतिशय मंद गतीने होते.

पॅलीनड्रोम संख्यांचे गणिताशिवाय इतर क्षेत्रांतदेखील आता योगदान आहे, ही उल्लेखनीय बाब आहे. पॅलीनड्रोम संख्यांची सममिती (सिमिट्री) हे त्याचे मुख्य कारण आहे. भौतिकशास्त्र आणि नियंत्रण सिद्धांत (कंट्रोल थिअरी) यांमधील काही रेषीय वेळ-अपरिवर्तनीय प्रणालींच्या घातांकीय स्थिरतेचे विश्लेषण अशा बहुपदींच्या मदतीने केले जाते, ज्यांचे सहगुणांक (कोफिशिअंटस्) पॅलीनड्रोम संख्या तयार करणारे असतात जसे की, (क्ष^४ + ४क्ष^३ + ११क्ष^२ + ४क्ष + १) या समीकरणाचे अनुक्रमे १, ४, ११, ४, १ हे सहगुणांक आहेत. तसेच अणू किंवा वैश्विक प्रणालींमध्ये संरचनात्मक सममितीचे विश्लेषण करण्यास पॅलीनड्रोम संख्या मदत करतात. कारण पॅलिंड्रोम संख्यांची सममिती ही परावर्तित सममिती (मिररिंग सिमीट्री) चा एक प्रकार आहे.

        संगणकीय क्षेत्रात अनेक प्रारूप-निर्मितीत (मॉडेलिंग) वापरल्या जाणाऱ्या पद्धतीसंचांची अचूकता तपासण्यासाठी, विशेषतः विकलक (डिफरन्शियल) समीकरणे सोडवण्यासाठी, पॅलिंड्रोमिक आकृतिबंध (पॅटर्न) वापरले जातात. जीवशास्त्राच्या संशोधनातून आता अधिकाधिक डीएनए क्रम (सिक्वेन्स) उपलब्ध होत आहेत. हे डीएनएक्रम रेणुकीय जीव माहितीसाठ्यात (मोलेक्युलर बायोलोजी डेटाबेस) संग्रहित केले जातात. अशा वाढत जाणाऱ्या महाकाय माहितीसाठ्यात ती माहिती किफायतशीरपणे संग्रह करण्यासाठी तिचे संकुचन (कॉम्प्रेशन) करण्यावर भर दिला जातो. यासाठी विकसित केले जाणारे पद्धतीसंच डीएनए क्रमांतील पॅलीनड्रोम गुणधर्म आणि त्यांची वारंवारिता यांचा खुबीने वापर करतात. अनेकदा संदेश अंकीय स्वरूपात गूढ करून पाठवताना पॅलीनड्रोम संख्याचा वापर करून त्याची लांबी कमीतकमी केली जाते, जेणेकरून अधिकृत संदेशग्राहक सोडल्यास इतरांना त्याची फोड करणे साधारणपणे कठीण होते.

इथे सादर केलेली पॅलीनड्रोम संख्यांची निवडक वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्म हे स्पष्ट करतात की अंकशास्त्र या गणिती शाखेत तसेच अन्य विषयांत त्या संख्या उपयुक्त ठरत आहेत. त्याबाबत अधिक संशोधनास खचितच वाव आहे आणि त्यामुळे पॅलीनड्रोम संख्यांची उपयोगिता मनोरंजनात्मक गणिताच्या पलीकडे जाऊन अनेक नवी दालने उघडण्यास मदत करेल. म्हणून पॅलीनड्रोम संख्यांचा अधिक काटेकोर अभ्यास गणिती पाठ्यक्रमात कुठल्या पातळीवर आणि कशा प्रकारे समाविष्ट करावा याचा विचार अवश्य केला जावा. त्याचप्रमाणे मनोरंजनात्मक गणितामधील इतर संकल्पना आणि औपचारिक गणिताचा असा संगम करण्यावर भर दिला जावा असे सुचवण्यात येते.

(मराठी विज्ञान परिषद “पत्रिका एप्रिल २०२६” वरून साभार)

डॉ. विवेक पाटकर

गणिततज्ज्ञ

vivekpatkar03@gmail.com